ランダウ力学自習第一回

このままだと永遠に通読しなさそうなので自習することにした。日記で感想を書いていくことにしようと思う。全て完全に理解したものには目印として「完了」と書くことにする。

  • §1一般座標(完了)
  • §2最小作用の原理(完了)
  • §3ガリレイの相対性原理(要相談)
    • このセクションは難しい。基準系とは何か、具体的なイメージがやはり湧かない。基準系とは、座標系と言い換えて良いのだろうか。
    • 慣性系の定義は、その系に関しては空間が一様かつ等方、時間も一様な基準系であり、いつもその系を見いだすことができる。
    • 1回生の頃、さがが注意していたことであるが、(3.2)を導くときには、dq/dtの関数としてのLのヘシアンが正則であるという条件が必要である。
    • 慣性系は(相対論に限らず)相対論的ではない力学においても、特別の位置を占める。これは、慣性系では全ての力学的関係(法則)がガリレイ不変であることによる。
  • §4自由な質点のラグランジアン(完了)
    • p8l1に？マークがあったが、(恐らく1回生の時のものだろう)簡単に解決した。
    • この本ではラグランジアンに定数をかけることを、単位の変更、と言っている。この意味でランダウに出てくる物理量は全て数値であることが判明した。しかし、量の比だけが真に物理的な意味を持つ、ということを指摘しているのはさすがである。
  • §5質点系のラグランジアン(要注意)
    • 相対論的ではない力学において、孤立系の相互作用Uがqのみの関数である、というのは相互作用は一瞬で伝わることを意味している。もし一瞬で伝わらないとすれば、これはガリレイ普遍性と矛盾する。
    • 一般座標で書いた運動エネルギーは速度の2次形式だが、位置に依存する。
    • 孤立していない系のラグランジアン。この話は第5巻統計物理に非常に関連している。外部の場の影響は、Uの時間依存性としてラグランジアンに取り込まれる。
    • 摩擦に関して§25を見よとある。見てみた。昨日のゼミでゆみが言っていたことの意味が分かった。ランダウ力学に散逸関数が書いてあるなんて知らなかった。
    • <問題>1,2,4はどうってことのない問題。3は大抵の人が解答の様な解を出せないんじゃないだろうか。不定性を利用して具体的なラグランジアンをきれいにする方法がわかる。また、(a)(b)(c)でラグランジアンが一般座標と一般速度の関数に分離していること、ポテンシャル以外の部分は同じになっていることに注意したい。
  • §6エネルギー(完了)
    • 自由度sの「孤立系において」運動の積分は2s-1個であるが、この-1は孤立系の運動方程式がtに依存しないことによる。
    • 運動の積分全てが大事なわけではない。相加性を持った運動の積分が重要である(→まさに統計物理)。相加性は物理量にとって重要な力学的役割を与える。
    • エネルギー保存則はLがtに陽に依存しないことから出てくる。よって外部の場が一定の場合にエネルギーは保存する。ただ本には書かれていないが、外部の場は任意ではなく、Uの微分で与えられるものに限ることに注意すべきだろう。例えば渦場を考えればよい。
  • §7運動量(完了)
    • 式(7.5)(7.6)は、Lは(q,dq/dt)によって決まる力学関数であることをとを考えれば、大変良い定義であると思う。思ったのだが、Hは(q,p)によって決まる力学関数であることを思えば、Lの場合同様∂H/∂pにも適切な名前を与えて然るべきではないか。(-∂H/∂qは当然力である。)
  • §8慣性中心(要注意)
    • 質量の加法性の定理。ランダウ力学に載っていたとは驚いた！
  • §9角運動量(かなり要注意)
    • 系の回転に対して全てのベクトルは位置ベクトルと同じ様な変換を受ける、ということを初めて納得した。遅っっ！！
    • 角運動量保存則は運動量保存則同様、相互作用があるかないかによらない。
    • 相加的な運動の積分はエネルギー、運動量、角運動量の7つであり、これで尽きる、とあるが、これは何故だろう。昨日の統計物理ゼミでも問題になったが、根拠が直感的にも全くないのは困ったことだ。
    • 2つの慣性系について角運動量の値を結びつける議論が非常にきれいだ。物理的直感に訴えかける、ランダウ物理教程の真骨頂だなあ。
  • §10力学的相似(かなり要注意)
    • 力学的相似。ケプラーの第３法則はこの議論だと、相似な楕円についてしか言えないことに要注意。
    • ビリアル定理。統計物理でもうすぐ出てくるだろう。
  • §11１次元運動(完了)

一晩で2章分を読んでしまった。１回生の時には１ページ読むのにヒイヒイ言ってたことを思い出す。さすがに２年前よりは成長しているようだ。