変分原理による統計力学(妄想)

(自分用の単なるメモ。人が読んでも多分しょうがない。)
一昨日の演習の続きで変分原理によって、統計力学を考えてみた。

分布関数をf(p,q)とする。
規格化条件、1=∫f(p,q)dpdqより、∫δf dpdq=0
エネルギー保存、E=∫f(p,q)*p^2 / 2m dpdqより、∫p^2 δf dpdq=0

これを満たしながら、エントロピーS=-K_B∫f(p,q) * log f(p,q) dpdq=1　を最大にすることより、δS=0
これから、ボルツマン分布が導かれるのが昨日の問題。

では、エントロピーSの表式が与えられていないときに、Sを決定するにはどうすればいいか、というのを考えてみた。(ランダウ力学でラグランジアンを決定するように。)

• 問題設定

「LはL(f)という統計分布を特徴付ける汎関数として、
系は定常状態において、作用　S=∫L dpdq
を最小にするような分布ρ(p,q)を取る。」

という「最小作用の原理」を原理として採用する。
さて、このLはどのように条件を与えれば決定できるだろうか、という問題。(本当は、我々はL=f*logf　という答えを知っている。)

問題をきちんと定式化するのにも時間がかかったが、この問題を自分なりにすっきり解くのにはもっと時間がかかりそうだ。(一週間やそこらでは無理だな。)

ちなみに、「模範解答」はあるわけありません。「Lの気持ち」がわかればそれで十分です。(ランダウ力学の導出は、Lの気持ちがよくわかるが、決してLの形が厳密に導けたわけではない。)